توزیع آماری نرمال یا طبیعی


پارامترها	μ $\mu$ مکان (حقیقی) σ ۲ > 0 $\sigma ^{2}>0$ توان دوم مقیاس (حقیقی)
تابع چگالی احتمال	خط قرمز: توزیع طبیعی استاندارد
تابع توزیع تجمعی	تابع توزیع تجمعی رنگ‌ها با نمودار بالا همخوانی دارند
‫تکیه‌گاه	x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) $x\in (-\infty ;+\infty )\!$
تابع چگالی احتمال	۱ σ ۲ π exp ⁡ ( − ( x − μ ) ۲ ۲ σ ۲ ) ${\frac 1{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	۱ ۲ ( ۱ + e r f x − μ σ ۲ ) ${\frac 12}\left(1+{\mathrm {erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt 2}}}\right)\!$
میانگین	μ $\mu$
میانه	μ $\mu$
مُد	μ $\mu$
واریانس	σ ۲ $\sigma ^{2}$
چولگی	۰
کشیدگی	۰
انتروپی	ln ⁡ ( σ ۲ π e ) $\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	M X ( t ) = exp ⁡ ( μ t + σ ۲ t 2 2 ) $M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$
تابع مشخصه	ϕ X ( t ) = exp ⁡ ( μ i t − σ ۲ t 2 2 ) $\phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

توزیع طبیعی ، یکی از مهمترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نام‌گذاری و همچنین اهمیت این توزیع، هم‌خوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع طبیعی در قضیهٔ حد مرکزی است. به زبان ساده، در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده میشود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع طبیعی است. این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسان‌های مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع طبیعی آشکار شود. بعنوان مثال، با اینکه متغیرهای زیادی بر میزان خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر میگذارند، (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و …) اما با اندازه‌گیری های متعدد، برایند این خطاها همواره دارای توزیع طبیعی است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است.مثال‌های دیگری از این نوسان‌های طبیعی، طول قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.

این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریک گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع یا تابع گوسی (گاوسی) نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل تابع احتمال این توزیع، با نام انحنای زنگوله‌ای (زنگدیس) نیز معروف است.

تابع احتمال این توزیع دارای دو پارامتر است که یکی تعیین کنندهٔ مکان (μ) و دیگری تعیین کنندهٔ مقیاس (σ) توزیع هستند. همچنین میانگین توزیع با پارامتر مکان و پراکندگی آن با پارامتر مقیاس برابر است. منحنی تابع احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر μ = ۰ و σ = ۱ باشد توزیع، طبیعی استاندارد نامیده می‌شود.

مشخصات

خصوصیات مختلفی که معمولاً برای شناسایی و توصیف یک توزیع به کار برده می‌شود، عبارتند از:تابع توزیع (چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات خلاصه شده‌است. در این بخش، جزئیات بیشتری در مورد این خصوصیات ذکر می‌شود.

تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی با پارامترهای μ و σ^۲ به صورت زیر است :

f(x;\,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\,e^{{-(x-\mu )^{2}\!/(2\sigma ^{2})}},\qquad x\in {\mathbb {R}}.

تابع (ƒ(x تابعی متقارن حول x = μ است؛ همچنین این نقطه میانگین، مد و میانهء توزیع است.
نقاط عطف این منحنی، x = μ − σ و x = μ + σ است.
این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

گشتاورها

گشتاورهای توزیع طبیعی از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی E|X|^p برای هر p که Re[p]> −۱ وجود دارد.

E [ ( X − μ ) p ] = { 0 if p is odd, σ p ( p − ۱ ) ! ! if p is even. ${\mathrm {E}}{\big [}(X-\mu )^{p}{\big ]}={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$

(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند)

E ⁡ [ | X − μ | p ] = σ p ( p − ۱ ) ! ! ⋅ { ۲ / π if p is odd , 1 if p is even . $\operatorname {E}{\big [}|X-\mu |^{p}{\big ]}=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {2/\pi }}&{\text{if }}p{\text{ is odd}},\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}.\end{cases}}$

ترکیبات خطی

اگر X ∼ N ( μ , σ ۲ ) $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,\!$ و a,b هر دو از اعداد حقیقی باشند، آنگاه a X + b ∼ N ( a μ + b , ( a σ ) ۲ ) $aX+b\sim N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})\,\!$
اگر X ∼ N ( μ X , σ X 2 ) $X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ و Y ∼ N ( μ Y , σ Y 2 ) $Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$ متغیرهای تصادفی طبیعی مستقل باشند آنگاه:

مجموع آنها دارای توزیع طبیعی است: U = X + Y ∼ N ( μ X + μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) $U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
اختلاف آنها نیز دارای توزیع طبیعی است: V = X − Y ∼ N ( μ X − μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) $V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
اگر واریانس X $X$ و Y $Y$ یکی باشد، آنگاه U $U$ و V $V$ از هم مستقل هستند.

خصوصیات

قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به طور توام، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع طبیعی، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.

تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع طبیعی گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع طبیعی گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند.

محاسبهٔ احتمال متغیرهای طبیعی نااستاندارد

اگر X یک توزیع طبیعی نااستاندارد با انحراف معیار σ و امیدریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع طبیعی استاندارد می‌سازد:^[۱]

Z = X − μ σ $Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

مثال

X ∼ N ( 2 , 9 ) $X\sim N(2,9)$

P ( X < 3 ) = ? $P(X<3)=?$

جواب به این صورت محاسبه‌پذیر است:

P ( X < 3 ) = P ( X − μ σ < 3 − ۲ ۳ ) ≈ P ( Z < 0.33 ) = 0.6293 $P(X<3)=P({\frac {X-\mu }{\sigma }}<{\frac {3-2}{3}})\approx P(Z<0.33)=0.6293$

(مقدار ‎P(Z<0.33)‎ از روی جداول چگالی توزیع طبیعی استاندارد و یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید)

منابع

بهبودیان، جواد. «چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم». در آمار و احتمال مقدماتی. محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد: دانشگاه امام رضا(ع)-مشهد. ۲۰۴.

گروه آماري بتا(Beta)

تحليل آماري با SPSS – PLS – LISREL- AMOS